一、用级数方法计算积分
例1 计算积分
处未定义,但为可去间断点
Analysis
原函数非初等函数,无法求解
Solution
Jan.11:续上
例2 计算椭圆积分
Tips
变量替换 #Wallis公式
Solution
二、近似计算
例3 计算 的近似值(误差不超过 )
Analysis
Solution
大约第五项即可三、微分方程的幂级数解法
例4 求Airy方程 的幂级数解
Solution
设是解,则又代入故及可以任取从而解
例5 设 适合 和
- 证明
- 求 的表达式
Solution
代入即题目已知故从而
Wallis 引理
Proof
考虑由于即交叉相乘补项令即证Tips
类似地,取 ,两边开根号可得
Stirling公式
估计阶乘:数量级
Analysis
令 要证:
则
下面考察 与 的大小关系
Proof
故即有界设又即单增从而有介值下证:即可由有
例6 讨论级数 的敛散性.
Solution
通项故当且仅当时收敛
例7 证明
1. 函数项级数
在 上一致收敛于 .
2. 求级数 的和.
Tips
回忆公式:
Laabe: 收敛=>Abel.II 收敛
Proof
1.
由于
故
2.
通项积分:
即
故
=>
例8 设 在 内收敛, 且收敛.
证明: 无论 在 处是否收敛, 都有
并由此证明
Solution
1.
由于在收敛,故逐项积分已知收敛定积分:直接等于,瑕积分:记为该值令故Addition
又取则且故
Solution
令缺项补项即可在处无意义不影响整体故
Solution
令见上次笔记例🎉 MA.I 完结撒花!
👎 MA.II 蓄势待发!